LABORATORIO DIDATTICO DI FILOSOFIA

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21 dicembre 2006

DIDATTICA DELLA FILOSOFIA

 

MODELLO STORICO-PROBLEMATICO, ANALISI DEI TESTI E MANUALISTICA

 

GOTTLOB FREGE

I fondamenti dell'aritmetica.

Nel 1884, Frege pubblica I fondamenti dell'aritmetica. Una ricerca logico matematica sul concetto di numero. Nelle pagine introduttive, qui presentate, Frege riassume le tendenze rigoristiche della matematica del suo tempo e ne indica le ragioni di fondo. Di particolare rilievo il confronto con la filosofia della matematica kantiana, che lo porterà a negare la natura sintetica a priori delle verità matematiche.

Dopo essersi allontanata per lungo tempo dal rigore euclideo, la matematica è ora tornata ad esso e tende anzi a superarlo. Nell'aritmetica, già in conseguenza dell'origine indiana di molti fra i suoi metodi e concetti, era tradizionale un modo di procedere meno preciso di quello in uso nella geometria, elaborata in forma così perfetta dai Greci. Esso si accentuò ancora maggiormente dopo la scoperta dell'analisi superiore; da un lato, infatti, parvero elevarsi difficoltà gravi, quasi insormontabili, contro ogni tentativo di esporre l'analisi in forma rigorosa, dall'altro parve che il loro superamento non dovesse dar luogo a risultati capaci di ricompensare gli sforzi compiuti. Tuttavia gli sviluppi ulteriori mostrarono in modo sempre più chiaro che in matematica non è sufficiente una pura e semplice persuasione morale, fondata sul gran numero di applicazioni riuscite. Oggi si richiede pertanto una dimostrazione per molte proprietà che prima erano ritenute evidenti; anzi, solo questo fu il modo di scoprire, in molti casi, i limiti della loro validità. I concetti di funzione, di continuità, di limite, di infinito, rivelarono la necessità di una più precisa determinazione; il numero negativo e l'irrazionale, già da lungo tempo entrati a far parte della matematica, dovettero essere sottoposti ad un più preciso esame della loro giustificazione.

Così si incontra ovunque la tendenza a dare dimostrazioni rigorose,a  tracciare con esattezza i limiti di validità dei diversi teoremi, e, per poter raggiungere questo scopo, a determinare con precisione i concetti (...).

Sviluppandosi ulteriormente, questa via deve condurci infine al concetto di numero naturale, ed alle più semplici proposizioni sugli interi positivi, proposizioni che costituiscono il fondamento di tutta l'aritmetica. E' certo che formule aritmetiche come 5+7=12, e leggi come quella associativa per l'addizione, trovano così innumerevoli conferme in infinite applicazioni giornaliere, che può sembrare ridicolo elevare qualche dubbio su di esse coll'esigere una dimostrazione. Ma è nell'essenza stessa della matematica che, ovunque sia possibile una dimostrazione, la si ritenga preferibile ad una semplice verifica induttiva. Euclide dimostra molte cose che chiunque ammetterebbe come immediate. Nei tempi recenti, per non essersi più accontentati nemmeno del rigore euclideo, si fu condotti alle famose ricerche connesse al postulato delle parallele (...).

In realtà, il processo dimostrativo non ha esclusivamente lo scopo di elevare al di sopra di qualsiasi dubbio la verità dei singoli teoremi, ma anche di farci comprendere la dipendenza di queste verità le une dalle altre (...). Quanto più si proseguono queste ricerche, tanto più piccolo risulta il numero delle verità-base a cui viene ricondotto l'intero edificio; e questa semplificazione è, già per se stessa, uno scopo assai degno delle nostre ricerche (...).

A questo genere di ricerche mi hanno determinato anche delle ragioni filosofiche. Dovrà qui, infatti, venir trovata una risposta ai problemi circa la natura a priori o a posteriori, sintetica o analitica, delle verità aritmetiche. Che, se a rigore questi concetti appartengono alla filosofia, non credo però che i problemi accennati possano risolversi senza l'aiuto della matematica (...).

Accade non di rado che prima si afferri il contenuto di una proposizione per una via, e poi per un'altra più difficile se ne svolga la dimostrazione rigorosa, attraverso cui si vengono pure a riconoscere con maggiore esattezza le sue condizioni di validità. Bisogna pertanto scindere in generale le due questioni: come giungiamo al contenuto di un giudizio; e: donde ricaviamo la giustificazione del nostro asserto.

Orbene, le anzidette distinzioni di a priori e a posteriori, di sintetico e di analitico, riguardano, a mio parere, non il contenuto del giudizio, ma la sua giustificazione (...). Se si afferma, nel mio senso, che una proposizione è analitica oppure che è a posteriori, non si pronuncia con ciò alcun giudizio sulle circostanze psichiche, fisiche o fisiologiche le quali permisero che si formasse in una certa coscienza il contenuto della proposizione in esame, e nemmeno sul modo con cui altre coscienze pervennero - per via giusta o erronea - a ritenere vera questa proposizione, ma si giudica la base ultima su cui è fondata la sua verità.

Risulta pertanto sottratto al campo della psicologia e assegnato a quello della matematica il problema se una certa proposizione costituisca o no una verità matematica. Per risolverlo, la prima cosa importante È di trovare una dimostrazione di essa, che la riconduca alle verità-base. Allorquando, nel percorrere questa via, si fa esclusivamente uso delle leggi logiche generali e di qualche definizione precisa, diremo che si tratta di una verità analitica (...). Quando invece non si può svolgere per intero la dimostrazione senza far appello a qualche verità, che risulti non di natura logica generale, ma dipendente da un campo particolare della scienza, allora diremo che si tratta di una proposizione sintetica.

Perchè‚ una proposizione debba dirsi a posteriori, è necessario che risulti impossibile dimostrarla senza far appello a fatti (cioè‚ a verità indimostrabili, prive di generalità, enuncianti qualche asserto su determinati oggetti). Se, al contrario, riesce possibile svolgere per intero la dimostrazione partendo da leggi universali, che a loro volta non siano dimostrabili né richiedano alcuna dimostrazione, allora parleremo di una verità a priori.

(GOTTLOB FREGE, Logica e aritmetica, a cura di CORRADO MANGIONE, II ed.,  Boringhieri, Torino, 1977, pp. 221ù224).

 

PER L'ANALISI.

.Frege indica almeno tre ordini di ragioni, matematiche e filosofiche, per la ricerca dei fondamenti della matematica. Quali sono?

.Frege fornisce definizioni delle coppie concettuali analitico/sintetico e a priori/a posteriori distinte da quelle kantiane. Se ne mettano in luce analogie e differenze.

.Frege introduce una distinzione, che rimarrà classica, tra il modo in cui è scoperto il contenuto di una proposizione ed il modo in cui essa è giustificata. Quale funzione svolge questa distinzione nella filosofia di Frege? Essa è oggi molto discussa: quali ragioni si possono portare a suo favore e quali contro?

.Importante è la polemica di Frege contro lo psicologismo, cioè contro il tentativo di fondare la matematica sulle leggi della psicologia, o delle scienze empiriche in generale. In questo testo dove si può cogliere un accenno a questa polemica? Quali sono gli argomenti cui Frege fa, o potrebbe fare, ricorso?

 

SCHEDA DI LAVORO.

1.Definite i termini del problema dei fondamenti e individuate i concetti qualificanti delle scuole logicista, formalista ed intuizionista. Si tengano presenti concetti quali ente matematico, verità, logica, dimostrazione.

2.Un concetto particolarmente problematico è quello di infinito. Già nell'antichità ne era stato messo in luce il carattere paradossale, per dominare il quale Aristotele aveva distinto tra infinito attuale ed infinito potenziale. Ricostruisci il problema dell'infinito nella filosofia matematica, tenendo presenti le seguenti citazioni:

"I numeri interi con le loro leggi e relazioni costituiscono una totalità allo stesso modo dei corpi celesti" (Georg Cantor); "l'infinito ha un posto ben giustificato nel nostro pensiero...l'Analisi matematica è una sinfonia dell'infinito...una chiarificazione definitiva della natura dell'infinito è divenuta necessaria per l'onore dell'intelletto umano...l'infinito nel senso delle totalità infinite è solo una façon de parler...i modi di inferenza che impiegano l'infinito devono essere in generale sostituiti con processi finiti che danno lo stesso risultato...la matematica è un inventario di formule, in primo luogo formule alle quali corrispondono le comunicazioni contenutistiche delle proposizioni finitarie...e in secondo luogo altre formule che in se stesse non significano niente e che sono gli oggetti ideali della nostra teoria" (David Hilbert); "Il neo-intuizionismo considera lo scindersi di momenti di vita in parti qualitativamente differenti, che vengono riunite solo in quanto rimangono separate dal tempo, come il fenomeno fondamentale dell'intelletto umano che trapassa, mediante l'astrazione del suo contenuto emozionale, nel fenomeno fondamentale del pensiero matematico, l'intuizione della pura 'duo-unità'. Questa intuizione della duo-unità...non solo crea i numeri uno e due, ma anche tutti i numeri finiti, nel senso che uno degli elementi della duo-unità può pensarsi come una nuova duo-unità, e questo processo può essere iterato indefinitamente; questo dà origine inoltre al più piccolo ordinale infinito v" (L.E.J.Brouwer).

3.Bertrand Russell riuscì a fondare la matematica sulla logica, assumendo, tra gli altri principi, il cosiddetto "assioma dell'infinito", da lui definita anche come "ipotesi che vi siano insiemi infiniti". Egli commentava questa assunzione con le seguenti parole: "Dato che l'infinito non è una contraddizione in termini, ma non è neanche dimostrabile per via logica, concludiamo che non si può sapere a priori se il numero delle cose nel mondo è finito o infinito. In conclusione, quindi, non c'è che adottare una fraseologia leibniziana: alcuni dei mondi possibili sono finiti e altri infiniti, e non abbiamo modo di sapere a quale di questi due tipi di mondi appartiene il mondo reale. L'assioma dell'infinito sarà vero in alcuni mondi possibili e falso in altri; ma non possiamo dire se sia vero o falso in questo mondo". Si discutano le conseguenze filosofiche di quest'asserzione per il programma logicista originario e per il concetto di logica.